sift之美
约定
\(o\in[o_{\min},o_{\min}+O-1]\)组的索引\(s\in[s_{\min},s_{\max}]\)层索引\(\sigma(o,s) = \sigma_02^{o + s/S}\)尺度坐标公式\(\sigma_0\)基准尺度\(M_0,N_0\)基准分辨率\(N_o = \lfloor \frac{N_0}{2^o}\rfloor,M_o = \lfloor \frac{M_0}{2^o}\rfloor\)& Octave lattice size formulas\(x_o \in [0,...,N_o]\times[0,...,M_o]\)Spatial indexes and rages\(x = 2^o x_o\)Spatial coordinate formula\(F(\cdot,\sigma(o,\cdot))\)Octave data\(G(x,\sigma)\)Gaussian scale space\(D(x,\sigma)\)DOG scale space
尺度空间理论
尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征
July在博文中总结道
SIFT的精妙之处在于采用图像金字塔的方法解决这一问题，我们可以把两幅图像想象成是连续的，分别以它们作为底面作四棱锥，就像金字塔，那么每一个截面与原图像相似，那么两个金字塔中必然会有包含大小一致的物体的无穷个截面，但应用只能是离散的，所以我们只能构造有限层，层数越多当然越好，但处理时间会相应增加，层数太少不行，因为向下采样的截面中可能找不到尺寸大小一致的两个物体的图像。
张东东在博文中写道
尺度空间中各尺度图像的模糊程度逐渐变大 ,能够模拟人在距离目标由近到远时目标在视网膜上的形成过程
一个图像的尺度空间，\(L(x,y,σ)\)定义为一个变化尺度的高斯函数\(G(x,y,σ)\)与原图像\(I(x,y)\)的卷积。
\[L(x,y,σ) = G(x,y,σ) \otimes I(x,y)\]
关键点的尺度坐标就是按关键点所在的组和组内的层,利用下面这个公式计算而来
\[
\sigma(o,s) = \sigma_0 2^{o+s/S},
\quad o \in o_{\min} + [0, ..., O-1],
\quad s \in [0,...,S-1]
\]
图像金字塔
图中的黑色圆盘是我加上去的，表示的是该图像所在的尺度的特征覆盖的范围，其特点是不同组同一层上的特征覆盖范围一样，同一组不同层上的特征覆盖范围逐步增大。
高斯尺度空间Gaussian Scale Space
\[G(x,\sigma) \doteq (g_\sigma * I)(x)\]
差分高斯尺度空间Difference of Gaussians scale space
\[
D(x,\sigma(s,o)) \doteq G(x,\sigma(s+1,o)) - G(x,\sigma(s,o)).
\]
Lowe's parameters
\[
\sigma_n = 0.5,
\quad
\sigma_0 = 1.6\cdot 2^{1/S},
\quad
o_{\min} = -1,
\quad
S =3
\]
detector
sift关键点是一组选择出来的（亚像素差值）关键点(x,σ)，该点是DOG尺度空间中的极值点，该点包含由高斯尺度空间推到出来的方向θ。
2D几何变换
旋转+平移变换
也叫2D刚体运动即2D欧式变换（因其保持欧式距离）
写作\(x={Rx+t}\)或者写作
\[
\begin{bmatrix}
R & t
\end{bmatrix}
\bar{x}
\]
其中
\[
\begin{bmatrix}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{bmatrix}
\]
是一个正交旋转矩阵，有\(RR^T = I\)和\(|R| = 1\)
放缩旋转
也叫做相似变换，该变换可以表示为\({\bar{x}}={sRx+t}\)，其中s是一个任意的尺度因子。它也可以写作
\[
x ={
\begin{bmatrix}
sR & t
\end{bmatrix}
\bar{x}
}
={
\begin{bmatrix}
a & -b & t_x \\
b & a & t_y
\end{bmatrix}
\bar{x}
}\]
其中我们不再需要\(a^2 + b^2 = 1\)。相似变换保持直线间的夹角。
各种2D变换如图所示：
